初中數(shù)學-二次根式知識點總結(jié)-

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初中數(shù)學二次根式知識點總覽：初中數(shù)學二次根式的定義，性質(zhì)，運算（混合運算），二次根式的比較技巧，應(yīng)用，初中數(shù)學二次根式常見考點和經(jīng)典例題。
??? 【初中數(shù)學二次根式概念】
??? 本單元是在學習了平方根和算術(shù)平方根的意義的基礎(chǔ)上，主要內(nèi)容有：（1）二次根式的有關(guān)概念，如：二次根式定義、最簡二次根式、同類二次根式等；（2）二次根式的性質(zhì)；（3）二次根式的運算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加減法等。
??? 【初中數(shù)學二次根式定義】
??? 1.二次根式的定義：一般地，形如√a的代數(shù)式叫做二次根式，其中，a 叫做被開方數(shù)。當a≥0時，√a表示a的算術(shù)平方根；當a小于0時，√a的值為純虛數(shù)（在一元二次方程求根公式中，若根號下為負數(shù)，則方程有兩個共軛虛根）。
??? 2.二次根式的性質(zhì)：
??? ①.任何一個正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù).如正數(shù)a的算術(shù)平方根是x,則a的另一個平方根為﹣x；
??? ②.零的平方根是零；
??? ③.負數(shù)沒有平方根；
??? ④.有理化根式：如果兩個含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式,那么這兩個代數(shù)式互為有理化根式,也稱互為有理化因式；
??? ⑤.無理數(shù)可用有理數(shù)形式表示。
??? 3.二次根式的運算
??? 二次根式的運算主要是研究二次根式的乘除和加減。
??? 1）二次根式的加減運算：
??? 先把式子中各項二次根式化成最簡二次根式,再參照多項式的加減運算,去括號與合并同類二次根式.
??? 2）二次根式的乘法：
??? （1）法則：根a ·根b =根ab （a≥0且b≥0）
??? （2）類型：
??? （i）單項二次根式乘以單項二次根式；
??? （ii）單項二次根式乘以多項二次根式；
??? （iii）多項二次根式乘以多項二次根式
??? 在進行乘法運算時,有時可以應(yīng)用乘法公式,使計算簡便.
??? 3）二次根式的除法：
??? （1）法則：根a/根b =根a/b （a≥0且b>0）
??? （2）類型：
??? （i）單項二次根式除以單項二次根式（應(yīng)用運算法則計算）
??? （ii）多項二次根式除以單項二次根式（轉(zhuǎn)化為單項二次根式除以單項二次根式）
??? （iii）除數(shù)是二個二次根式的和或是一個二次根式與一個有理數(shù)的和（把分母有理化進行運算,或與分式的運算類比思考,約去分子,分母中的公因式）.
??? 4）二次根式的混合運算：
??? 先乘方（或開方），再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的；能利用運算律或乘法公式進行運算的，可適當改變運算順序進行簡便運算．
??? 注意：進行根式運算時，要正確運用運算法則和乘法公式，分析題目特點，掌握方法與技巧，以便使運算過程簡便．二次根式運算結(jié)果應(yīng)盡可能化簡．另外，根式的分數(shù)必須寫成假分數(shù)或真分數(shù)，不能寫成帶分數(shù)。
??? （5）有理化因式：如果兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含有二次根式，就說這兩個非零代數(shù)式互為有理化因式。
??? 一個含有二次根式的代數(shù)式的有理化因式不唯一。如√a與√a（或者√a與-√a），√a-√b與√a+√b（或者√a-√b與-√a-√b）互為有理化因式。
??? 6、二次根式的比較（重點）：
??? 比較二次根式大小的幾種基本方法，如求近似值法、比較被開方數(shù)法，“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒數(shù)”、“平方”等方法。
??? 1）移動因式法：就是將根號外的正因式移入根號內(nèi)，從而轉(zhuǎn)化為比較被開方數(shù)的大小。
??? 2）運用平方法：兩邊同時平方,轉(zhuǎn)化為比較冪的大小。
??? 3）分母有理化法：此法是先將各自的分母有理化，再進行比較。
??? 4）分子有理化法此法是先將各自的分子有理化，再比較大小。
??? 5）求倒數(shù)法：先求兩數(shù)的倒數(shù)，而后再進行比較。
??? 6）運用媒介法：此法是借助中間量（定量或變量）巧妙轉(zhuǎn)換達到直觀比較的方法，類似于解方程中的換元法。
??? 初中數(shù)學二次根式的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個方面：1.利用從特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解決一些規(guī)律探索性問題;2.利用二次根式解決長度、高度計算問題，根據(jù)已知量，求出一些長度或高度，或設(shè)計省料的方案，以及圖形的拼接、分割問題。這個過程需要用到二次根式的計算，其實就是化簡求值。
??? 初中數(shù)學二次根式常見考法：
??? (1)設(shè)計一些規(guī)律探索問題提高學生的想象力和創(chuàng)造力；(2)聯(lián)系生活實際設(shè)計一些方案探究題。
??? 初中數(shù)學二次根式誤區(qū)提醒：
??? (1)不能通過觀察，歸納、猜想尋找出共同的規(guī)律，并運用這種規(guī)律解決問題;
??? (2)不會應(yīng)用數(shù)學的知識解決實際生活中的問題。
??? 【典型例題】小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它的長、寬比為3：2，不知道能否裁出來，正在發(fā)愁你能幫他解決嗎?

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